Question

19．如圖，在正方形ABCD中，AB=1，以對角線AC的一半AE為邊作第二個正方形AFBE，再以對角線AB的一半AG作第三個正方形AHFG…若正方形ABCD的邊長記為a₁，按上述方法所作的正方形的邊長依次記為a₂，a₃，a₄，…，a_n，則a_n=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理分別求出a₁，a₂，a₃的值，據(jù)此即可得出規(guī)律．

解答 解：根據(jù)題意知a₁=1=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁰，
a₂=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a₃=$\frac{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
…
∴a_n=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1，
故答案為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1．

點評 本題主要考查圖形的變化規(guī)律及勾股定理得運用，根據(jù)題意列出a₁，a₂，a₃的值是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的關鍵．