Question

我們知道平行四邊形那有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論
【發(fā)現(xiàn)與證明】
在?ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B′D．
結(jié)論1：B′D∥AC；
結(jié)論2：△AB′C與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形．
…
請利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2．
【應用與探究】
在?ABCD中，∠B=30°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B′D．
（1）如圖1，若AB=

3

，∠AB′D=75°，則∠ACB=

 

，BC=

 

；
（2）如圖2，AB=2

3

，BC=1，AB′與CD相交于點E，求△AEC的面積；
（3）已知AB=2

3

，當BC的長為多少時，△AB′D是直角三角形？

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：【發(fā)現(xiàn)與證明】
通過三角形全等即可求得∠ACB′=∠CAD，即可得到結(jié)論2；進而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得∠ADB′=∠DAC，根據(jù)平行線的判定即可證得結(jié)論1；
【應用與探究】
（1）根據(jù)對折的性質(zhì)求得∠AB′C=30°，從而求得∠CB′D=45°，由于B′D∥AC，得出∠ACB′=∠CB′D=45°，進而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根據(jù)解直角三角形即可求得BC；
（2）作CG⊥AB′于G，通過解直角三角形求得CG=

1

2

，B′G=

3

2

，進而求得AG=2

3

-

3

2

=

3 3

2

，設AE=CE=x，則EG=

3 3

2

-x，根據(jù)勾股定理即可求得x值，即AE的值，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得△AEC的面積；
（3）先證得四邊形ACB′D是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠AB′C=∠CDA=30°，∠B′AD=∠DCB′=90°，設∠ADB′=∠CB′D=y，則∠AB′D=y-30°，根據(jù)∠AB′D+∠ADB′=90°，得出y-30°+y=90°，解得y=60°，進而求得∠AB′D=30°，通過解直角三角形即可求得BC．

解答：解：【發(fā)現(xiàn)與證明】
在?ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B′D．
如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC，
∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，
∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，
在△AB′C和△CAD中，

AB′=CD ∠AB′C=∠ADC B′C=AD

，
∴△AB′C≌△CAD（SAS），
∴∠ACB′=∠CAD，
設AD、B′C相交于E，
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形，
即△AB′C與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形；
∵B′C=AD，AE=CE，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD，
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC；
【應用與探究】
（1）如圖1，∵在?ABCD中，∠B=30°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠AB′C=30°，
∵∠AB′D=75°，
∴∠CB′D=45°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB′=∠CB′D=45°，
∵∠ACB=∠ACB′，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，
∴AG=CG，
∵∠B=30°，
∴AG=

1

2

AB=

1

2

×

3

=

3

2

，
∴CG=

3

2

，BG=

AB2-AG2

=

3

2

，
∴BC=BG+CG=

3+ 3

2

，
故答案為：45°，

3+ 3

2

；

（2）如圖2，
作CG⊥AB′于G，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=30°，
∴CG=

1

2

B′C=

1

2

BC=

1

2

，B′G=

3

2

B′C=

3

2

BC=

3

2

，
∵AB′=AB=2

3

，
∴AG=2

3

-

3

2

=

3 3

2

，
設AE=CE=x，則EG=

3 3

2

-x，
∵CG²+EG²=CE²，
∴（

1

2

）²+（

3 3

2

-x）²=x²，解得x=

7 3

9

，
∴AE=

7 3

9

，
∴△AEC的面積=

1

2

AE•CG=

1

2

×

7 3

9

×

1

2

=

7 3

36

；

（3）如圖2，∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
當∠B′AD=90°，AB＞BC時，
設∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
∵∠AB′D+∠ADB′=90°，
∴y-30°+y=90°，解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，
∵AB′=AB=2

3

，
∴AD=

3

3

×2

3

=2，
∴BC=2，
當∠ADB′=90°，AB＞BC時，如圖3，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四邊形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=2

3

，
∴BC=

3

2

AB=

3

2

×2

3

=3；
當∠B′AD=90°AB＜BC時，如圖4，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2

3

，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=

1

2

B′C=

1

2

BC，
∴G是BC的中點，
在RT△ABG中，BG=

3

2

AB=

3

2

×2

3

=3，
∴BC=6；
當∠AB′D=90°時，如圖5，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四邊形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2

3

，
∴BC=AB÷

3

2

=2

3

×

1

3 2

=4；
∴已知當BC的長為2或3或4或6時，△AB′D是直角三角形．

點評：本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．