Question

19．如圖，∠AOB=90°，將三角尺的直角頂點落在∠AOB的角平分線OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F，求證：PE=PF．

Answer 1

分析 過點P作PM⊥OA于M，PN⊥⊥OB于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等，PM=PN，可以通過證明PM、PN所兩在的兩個直角三角形全等，即Rt△PEM≌Rt△PFM 來證明PE=PF

解答 證明：過點P作PM⊥OA于M，PN⊥⊥OB于N，則∠PMO=∠PNO=90°
∵∠AOB=90°
∴四邊形OMPN是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）
∴∠MPN=90°（矩形的四個角都是直角）
又∵∠EPF=90°（已知）
∴∠MPN=∠EPF，
∴∠MPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN
即：∠1=∠2
∵OP平分∠AOB（已知）
∴PM=PN（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）
∴△PME≌△PNF（AAS）
∴PE=PF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

點評 本題是證明兩條線段相等．證明兩條線段相等，通常是證明這兩條線段所在的三角形全等，然后再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證得的結(jié)論．注意題目給出了角平分線，常常應(yīng)用到角平分線性質(zhì)構(gòu)造輔助線幫助解決問題．