Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D為AB的中點，M、N分別在BC、AC上，且BM=CN．
（1）求證：DM=DN；
（2）判斷△DMN的形狀，并說明理由；
（3）求四邊形CMDN的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連結CD，根據等腰直角三角形的性質可得CD=BD，∠B=∠DCN，根據SAS證明△DBM≌△DCN，再根據全等三角形的性質即可求解；
（2）根據全等三角形的性質可得∠BDM=∠CDN，再根據等腰直角三角形的性質和角的等量關系可得∠MDN=90°，再根據等腰直角三角形的判定即可求解；
（3）根據全等三角形的性質可得△DBM的面積=△DCN的面積，依此可得四邊形CMDN的面積=△DCB的面積，根據三角形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）連結CD．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為AB的中點，
∴CD=BD，∠B=∠DCN，∠CDB=90°，
在△DBM與△DCN中，

CD=BD ∠B=∠DCN BM=CN

，
∴△DBM≌△DCN（SAS），
∴DM=DN；

（2）∵△DBM≌△DCN，
∴∠BDM=∠CDN，
∴∠MDN=∠CDN+∠CDM=∠BDM+∠CDM=∠CDB=90°，
∵DM=DN，
∴△DMN是等腰直角三角形；

（3）∵△DBM≌△DCN，
∴△DBM的面積=△DCN的面積，
∴四邊形CMDN的面積=△DCB的面積=4×（4÷2）÷2=4．
故四邊形CMDN的面積是4．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，考查了全等三角形對應邊，對應角相等的性質，本題中求證△DBM≌△DCN是解題的關鍵．