Question

【題目】正方形的邊長為1，點是邊上的一個動點（與，不重合），以為頂點在所在直線的上方作

（1）當經過點時，

①請直接填空：________（可能，不可能）過點：（圖1僅供分析）

②如圖2，在上截取，過點作垂直于直線，垂足為點，作于，求證：四邊形為正方形；

③如圖2，將②中的已知與結論互換，即在上取點（點在正方形外部），過點作垂直于直線，垂足為點，作于，若四邊形為正方形，那么與是否相等？請說明理由；

（2）當點在射線上且不過點時，設交邊于，且．在上存在點，過點作垂直于直線，垂足為點，使得，連接，則當為何值時，四邊形的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

【答案】（1）①不可能　 ②詳見解析處 ③結論：OA＝OE，理由：詳見解析處 （2）當BO為時，四邊形PKBG的面積最大，最大值．

【解析】

（1）①若ON過點D，則在△OAD中不能滿足勾股定理，據此可知ON不可能過點D；

②由條件可判斷出四邊形EFCH為矩形，再證明△OFE≌△ABO，可得結論；

③結論：OA＝OE，如圖2-1中，連接EC，在BA上取一點Q，使得BQ＝BO，連接OQ，證明△AQO≌△OCE即可．

（2）根據條件可證明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性質可得OP＝1，可得△POG面積為定值及△PKO和△OBG的關系，只要△OGB的面積有最大值時，四邊形PKBG的面積也最大，設OB＝a，BG＝b，由勾股定理可用b表示出a，則可用a表示出△OBG的面積，利用二次函數的性質即可求得其最大值，繼而可求得四邊形PKBG的面積最大值．

解：（1）①若ON過點D，則OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，

∴OA2 ＋OD2＞2AD2≠AD2，

∴∠AOD≠90°，這與∠MON＝90°矛盾，

∴ON不可能過點D，

故答案為：不可能；

②如圖2中，

∵EH⊥CD，EF⊥BC，

∴∠EHC＝∠EFC＝90°且∠HCF＝90°，

∴四邊形EFCH為矩形，

∵∠MON＝90°，

∴∠EOF＝90°－∠AOB，

在正方形ABCD中，

∠BAO＝90°－∠AOB，

∴∠EOF＝∠BAO，

在△OFE和△ABO中， ，

∴△OFE≌△ABO（AAS）

∴EF＝OB，OF＝AB，

又∵OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝BO＋OC＝EF＋OC，

∴CF＝EF，

∴四邊形EFCH為正方形；

③結論：OA＝OE

理由：如圖2-1所示，連接EC，在BA上取一點Q，使得BQ＝BO，連接OQ．

∵AB＝BC，BQ＝BO，

∴AQ＝OC

∵∠QAO＝∠EOC，∠AQO＝∠ECO＝135°,

∴△AQO＝△OCE（ASA）

∴OA＝EO

（2）

∵∠POK＝∠OGB，∠PKO＝∠OBG，

∴△PKO∽△OBG，

∵S△PKO＝S△OBG，

∴，

∴OP＝1，

∴S△POG＝·OG·OP＝/span>×1×2＝1，

設OB＝a，BG＝b，則a2＋b2＝OG2＝4，

∴b＝，

∴S△OBG＝ab＝a＝＝，

∴當a2＝2時，S△OBG有最大值1，此時S△PKO＝S△OBG＝，

∴四邊形PKBG的最大面積為1+1+＝

∴當BO為時，四邊形PKBG的面積最大，最大值．