Question

己知：二次函數y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）點

A、點B的橫坐標是一元二次方程x2-4x-12=0的兩個根．

（1）請直接寫出點A、點B的坐標．

（2）請求出該二次函數表達式及對稱軸和頂點坐標．

（3）如圖1，在二次函數對稱軸上是否存在點P，使△APC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）如圖2，連接AC、BC，點Q是線段0B上一個動點（點Q不與點0、B重合）．過點Q作QD∥AC交BC于點D，設Q點坐標（m，0），當△CDQ面積S最大時，求m的值．

 

 

Answer 1

（1）A（-2，0），B（6，0）；(2) y=-x2+2x+6，拋物線對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，8）；(3) P（2，4）；(4)2.

【解析】

試題分析：（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B兩點坐標；

（2）將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax2+bx+6，可求二次函數解析式，配方為頂點式，可求對稱軸及頂點坐標；

（3）作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，P點即為所求；

（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，運用二次函數的性質求面積最大時，m的值．

試題解析：（1）A（-2，0），B（6，0）；

（2）將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax2+bx+6，得

，

解得，

∴y=-x2+2x+6，

∵y=-（x-2）2+8，

∴拋物線對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，8）；

（3）如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

設直線AC′解析式為y=ax+b，則

，

解得，

∴y=x+2，當x=2時，y=4，

即P（2，4）；

（4）依題意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，則S△ABC=AB×OC=24，

∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，

∴

即S△BDQ=，

又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，

∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24--(3m+6)=-m2+m+=-（m-2）2+6，

∴當m=2時，S最大．

考點：二次函數綜合題．