Question

17．課堂上，某老師給出一道數(shù)學(xué)題：如圖1所示，D點在AB上，E點在AC的延長線上，且BD=CE，連接DE交BC于F，若F點是DE的中點，證明：AB=AC．
小明的思路是：過D作DG∥AE，交BC于點G，如圖2；
小麗的思路是過E作EH∥AB，交BC的延長線于點H，如圖3．
請根據(jù)小明或小麗的思路任選一種完成該題的證明過程．

Answer 1

分析 圖2，根據(jù)平行線求出∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，根據(jù)AAS推出△DFG≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DG=CE，求出BD=DG，求出∠B=∠ACB即可；
圖3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B=∠H，根據(jù)AAS推出△BDF≌△HEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EH=BD，求出∠B=∠ACB即可．

解答 證明：圖2，∵DG∥AE，
∴∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，
∵F點是DE的中點，
∴DF=EF，
∵在△DFG和△EFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠ECF}\\{∠GDF=∠E}\\{DF=EF}\end{array}\right.$
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DG=CE，
∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠B=∠DGB，
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC；
圖3，∵EH∥AB，
∴∠B=∠H，
在△BDF和△HEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠EFH}\\{∠B=∠H}\\{DF=EF}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴EH=BD，
∵BD=CE，
∴CE=EH，
∴∠H=∠HCE，
∵∠H=∠B，∠HCE=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟練地運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．