Question

14．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）．設(shè)點(diǎn)C（1，-3），請?jiān)趻佄锞�的對稱軸上確定一點(diǎn)D，使得|AD-CD|的值最大，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-9）．

Answer 1

分析 首先利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后可求得拋物線的對稱軸方程x=3，又由作點(diǎn)C關(guān)于x=3的對稱點(diǎn)C′，直線AC′與x=3的交點(diǎn)即為D，求得直線AC′的解析式，即可求得答案．

解答 解：∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（6，0），
∴$\frac{1}{2}$×6²+6b=0，
∴b=-3，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-3x=$\frac{1}{2}$（x-3）²-$\frac{9}{2}$，
∴拋物線的對稱軸為：直線x=3，
∵點(diǎn)C（1，-3），
∴作點(diǎn)C關(guān)于x=3的對稱點(diǎn)C′（5，-3），
直線AC′與x=3的交點(diǎn)即為D，
因?yàn)槿我馊∫稽c(diǎn)D（AC與對稱軸的交點(diǎn)除外）都可以構(gòu)成一個(gè)△ADC．而在三角形中，兩邊之差小于第三邊，即|AD-CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延長線上的點(diǎn)的時(shí)候取到|AD-C′D|=AC′．把A，C′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到過AC′的直線的解析式即可；
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{5k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-18}\end{array}\right.$，
∴直線AC′的解析式為y=3x-18，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-9，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-9）．
故答案為：（3，-9）．

點(diǎn)評 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱軸，以及距離差最小問題．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．