Question

先觀察下列等式，再回答問題：

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

1+1

=1

1

2

；

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

2+1

=1

1

6

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

3+1

=1

1

12

（1）根據(jù)上面三個等式提供的信息，請你猜想

1+ 1 42 + 1 52

的結(jié)果，并進行驗證；
（2）請按照上面各等式反映的規(guī)律，試用含n的式子表示出來；
（3）若S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20132 + 1 20142

，求S．

Answer 1

考點：二次根式的性質(zhì)與化簡

專題：規(guī)律型

分析：（1）從三個式子中可以發(fā)現(xiàn)，第一個加數(shù)都是1，第二個加數(shù)是個分數(shù)，設(shè)分母為n，第三個分數(shù)的分母就是n+1，結(jié)果是一個帶分數(shù)，整數(shù)部分是1，分數(shù)部分的分子也是1，分母是前項分數(shù)的分母的積．所以由此可計算給的式子；
（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律寫出表示這個規(guī)律的式子．；
（3）根據(jù)規(guī)律得出算式，最后求出即可．

解答：解：（1）

1+ 1 42 + 1 52

=1

1

20

，
理由是：

1+ 1 42 + 1 52

=

1+ 1 16 + 1 25

=

441 16×25

=

21

20

=1

1

20

；

（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

=1+

1

n(n+1)

；

（3）S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20132 + 1 20142

=1+

1

1×2

+1+

1

2×3

+1+

1

3×4

+…+1+

1

2013×2014

=2013+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=2013+1-

1

2014

=2013

2013

2014

．

點評：考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，此題是一個閱讀題目，通過閱讀找出題目隱含條件．總結(jié)：找規(guī)律的題，都要通過仔細觀察找出和數(shù)之間的關(guān)系，并用關(guān)系式表示出來．