Question

【題目】如圖1．拋物線經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)在拋物線上，且在軸的上方，點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為．

（1）求拋物線的解析式：

（2）如圖2．過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)．交軸于點(diǎn)，若平分，求的值：

（3）點(diǎn)在直線上．點(diǎn)在軸上，且位于點(diǎn)的上方，那么在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出菱形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)C（0,3）代入即可解答；

（2）求出直線AC的解析式為，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義得到，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出t的值；

（3）分兩種情況：①當(dāng)CE為對角線時(shí)，四邊形CPED為菱形，如圖3，則點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱；②當(dāng)CE為菱形的邊時(shí)，四邊形CEPD為菱形，如圖4，則PD∥y軸，CD=PD，分別構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析式為，

把代入得到

拋物線的解析式為，

即

（2）如圖2中

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+p，將代入得：

，解得k=，p=3，

直線的解析式為

的橫坐標(biāo)為，

平分，

，

，

，

，解得或t=0（舍去）

的值為

（3）設(shè)，

①當(dāng)CE為對角線時(shí)，四邊形CPED為菱形，如圖3，則點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)，

將代入中得：

，

解得：（舍去）

此時(shí)P（-2，），

∴PD=4，CE=2×（-3）=3

∴菱形的面積=；

②當(dāng)CE為菱形的邊時(shí)，四邊形CEPD為菱形，如圖4，則PD∥y軸，CD=PD，

∴，

∴PD=

而，

∴，

∴，解得：（舍去），

∴PD=，

此時(shí)菱形的面積=．

綜上所述，菱形的面積是或．