Question

7．已知點A在函數(shù)y₁=-$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，點B在直線y₂=kx+1+k（k為常數(shù)，且k≥0）上．若A，B兩點關(guān)于原點對稱，則稱點A，B為函數(shù)y₁，y₂圖象上的一對“友好點”．請問這兩個函數(shù)圖象上的“友好點”對數(shù)的情況為（　　）

• A． 有1對或2對
• B． 只有1對
• C． 只有2對
• D． 有2對或3對

Answer 1

分析 根據(jù)“友好點”的定義知，函數(shù)y₁圖象上點A（a，-$\frac{1}{a}$）關(guān)于原點的對稱點B（-a，$\frac{1}{a}$）一定位于直線y₂上，即方程ka²-（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a-1）（ka-1）=0，據(jù)此可得答案．

解答 解：設(shè)A（a，-$\frac{1}{a}$），
由題意知，點A關(guān)于原點的對稱點B（-a，$\frac{1}{a}$）在直線y₂=kx+1+k上，
則$\frac{1}{a}$=-ak+1+k，
整理，得：ka²-（k+1）a+1=0 ①，
即（a-1）（ka-1）=0，
∴a-1=0或ka-1=0，
則a=1或ka-1=0，
若k=0，則a=1，此時方程①只有1個實數(shù)根，即兩個函數(shù)圖象上的“友好點”只有1對；
若k≠0，則a=1或a=$\frac{1}{k}$，此時方程①有2個實數(shù)根，即兩個函數(shù)圖象上的“友好點”有2對，
綜上，這兩個函數(shù)圖象上的“友好點”對數(shù)情況為1對或2對，
故選：A．

點評 本題主要考查直線和雙曲線上點的坐標(biāo)特征及關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，將“友好點”的定義，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征轉(zhuǎn)化為方程的問題求解是解題的關(guān)鍵．