Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x的圖象l是第一、三象限的角平分線(xiàn)．
（1）實(shí)驗(yàn)與探究：由圖觀(guān)察易知A（0，2）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（-2，5）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′、C′的位置，并寫(xiě)出它們的坐標(biāo)：B′

（3，5）

、C′

（5，-2）

；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖形觀(guān)察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m，n）關(guān)于第一、三象限的角平分線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

（n，m）

；
（3）類(lèi)比與猜想：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

（-n，-m）

；
（4）運(yùn)用與拓廣：已知兩點(diǎn)D（0，-3）、E（-1，-4），試在第一、三象限的角平分線(xiàn)l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（0，2）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0）進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)關(guān)于直線(xiàn)y=-x的對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行解答；
（4）求出點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)y=-x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)D′E的解析式，求出直線(xiàn)D′E與直線(xiàn)y=-x的交點(diǎn)坐標(biāo)即為Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（0，2）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），
∴B（5，3）、C（-2，5）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（3，5），C′（5，-2），
故答案為：（3，5）；（5，-2）

（2）∵A（0，2）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），
∴關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴點(diǎn)P（m，n）關(guān)于第一、三象限的角平分線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（n，m）．
故答案為：（n，m）；

（3）猜想：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：（-n，-m），
故答案為：：（-n，-m）；

（4）∵點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′（-3，0），
設(shè)過(guò)點(diǎn)D′E的直線(xiàn)解析式為y=kx+b（k≠0），
∵D′（-3，0），E（-1，-4），
∴

-3k+b=0 -k+b=-4

，解得

k=-2 b=-6

，
∴直線(xiàn)D′E的解析式為y=-2x-6，
∵點(diǎn)Q是直線(xiàn)D′E與直線(xiàn)y=x相交與點(diǎn)Q，
∴

y=-2x-6 y=x

，解得

x=-2 y=-2

，
∴Q（-2，-2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到關(guān)于直線(xiàn)y=x，y=-x的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題等知識(shí)，難度適中．