Question

【題目】如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)，且OP＝3．若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，則△PMN周長的最小值是（ ）

A.12B.9C.6D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意，作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)E、D，連接DE，與OA相交于點(diǎn)M，與OB相交于點(diǎn)N，則此時△PMN周長的最小值是線段DE的長度，連接OD、OE，由∠AOB＝30°，得到∠DOE=60°，由垂直平分線的性質(zhì)，得到OD=OE=OP=3，則△ODE是等邊三角形，即可得到DE的長度．

解：如圖：作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)E、D，連接DE，與OA相交于點(diǎn)M，與OB相交于點(diǎn)N，則此時△PMN周長的最小值是線段DE的長度，連接OD、OE，

由垂直平分線的性質(zhì)，得DN=PN，MP=ME，OD=OE=OP=3，

∴△PMN周長的最小值是：PN+PM+MN=DN+MN+ME=DE，

由垂直平分線的性質(zhì)，得∠DON=∠PON，∠POM=∠EOM，

∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=2（∠PON+∠POM）=2∠MON=60°，

∴△ODE是等邊三角形，

∴DE=OD=OE=3，

∴△PMN周長的最小值是：PN+PM+MN=DE=3；

故選：D．