Question

1．若以△ABC兩邊AB、BC為邊分別向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCH，連接AH、CE交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BM⊥AC，垂足為M，延長MB交EH于N，求證：
（1）AH=CE；
（2）AH⊥CE；
（3）EN=HN．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，求得∠ABH=∠EBC，推出△ABH≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAH=∠CEB，推出A，G，B，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠AGE=∠ABE=90°，即可得到結(jié)論；
（3）過E作EF⊥MN于F，HQ⊥MN于Q，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠HBQ=∠BCM，推出△BHQ≌△BMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HQ=BM，同理EF=BM，等量代換得到EF=HQ，推出△EFN≌△HQN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABE與△BCH是等腰直角三角形，
∴AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，
∴∠ABH=∠EBC，
在△ABH與△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABH=∠EBC}\\{BH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EBC，
∴AH=CE；

（2）∵△ABH≌△EBC，
∴∠BAH=∠CEB，
∴A，G，B，E四點(diǎn)共圓，
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴AH⊥CE；

（3）過E作EF⊥MN于F，HQ⊥MN于Q，
∵∠HBQ+∠MBC=90°，∠BCM+∠MBC=90°，
∴∠HBQ=∠BCM，
在△BHQ與△BMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HBQ=∠BCM}\\{∠HQB=∠BMC=90°}\\{BH=BC}\end{array}\right.$，
∴△BHQ≌△BMC，
∴HQ=BM，同理EF=BM，
∴EF=HQ，
在△EFN與△HQN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠HQN=90°}\\{EF=HQ}\\{∠ENF=∠HNQ}\end{array}\right.$，
∴△EFN≌△HQN，
∴EN=HN．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．