Question

如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直線重合．然后繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)30°，恰好B點在中間的一條直線上，A點在下面的一條直線上．上、中兩平行線間的距離是m，中、下兩平行線間的距離是n，那么n：m等于（　�。�

• A．

  3

  ：1
• B．（

  3

  -1）：1
• C．（

  3

  +1）：1
• D．2：

  3

Answer 1

分析：過A作AD⊥CE，交CE于點D，過B作BE⊥CE，交DC于點E，可得出一對直角相等，再由三角形ABC為等腰直角三角形，得到AC=BC，∠ACB=90°，利用平角的定義得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ADC與三角形CEB全等，由全等三角形的性質(zhì)得到CE=AD，而AD=m+n，可得出CE=m+n，在直角三角形CBE中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BC=2m，利用勾股定理列出m與n的關系式，整理后即可求出n：m的值．

解答：解：過A作AD⊥CE，交CE于點D，過B作BE⊥CE，交DC于點E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，又∠BCE=30°，
∴∠ACD=∠EBC=60°，
在△ACD和△CBE中，
∵

∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠CBE=60° AC=CB

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=m+n，
又∵在Rt△BEC中，∠BCE=30°，BE=m，
∴CB=2EB=2m，
利用勾股定理得：BC²=CE²+BE²，即（2m）²=（m+n）²+m²，
整理得：n²+2mn-2m²=0，
方程兩邊同時除以m²，得（

n

m

）²+2•（

n

m

）-2=0，
解得：

n

m

=

3

-1或

n

m

=-

3

-1（舍去），
則n：m=（

3

-1）：1．
故選B

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及解直角三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．