Question

【題目】已知，如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)以1，以2的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)__________時(shí)，；

（2）連接．

①當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀不斷發(fā)生變化，它能否構(gòu)成直角三角形？如果能則求出此時(shí)的值，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）①，②能，當(dāng)t為4.5或7.2時(shí)，△BPQ是直角三角形．

【解析】

（1）先求得AB的長(zhǎng)，再設(shè)BP=t，AQ=2t，則BQ=18-2t，即可求得t的值；

（2）①作QM⊥BC于M，QN⊥AC于N，在Rt△PQM中，利用勾股定理即可求解；

②分兩種情況討論當(dāng)PQ⊥BC和PQ⊥BA，利用直角三角形的性質(zhì)解答即可．

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9 cm

∴AB=2 BC =18 cm，

由P、Q的運(yùn)動(dòng)速度可知：BP=t，AQ=2t，則BQ=18-2t，

根據(jù)題意：BP=BQ，即t=18-2t，

解得：t=6(s)；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9 cm．

∴AB=18 cm，AC==cm，

由P、Q的運(yùn)動(dòng)速度可知：BP=t，AQ=2t，

①當(dāng)t=4時(shí)， BP=4，AQ=8，

作QM⊥BC于M，QN⊥AC于N，如答圖1，

∵，

∴四邊形CNQM為矩形，MC= QN，QM=CN，

∵∠A=30°，AQ=8，

∴QN=，，

∴PM=BC-BP-MC=9﹣4﹣4=1，

QM=CN=AC﹣AN=，

∴(cm)；

②能構(gòu)成直角三角形，有以下兩種情況：

如答圖2，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，即PQ//AC，

∴∠BQP=∠A=30°，

∴BQ=2BP=2t，

即AB=BQ+AQ=2t +2t =4t=18，

解得：t=4.5(s)；

如答圖3，當(dāng)PQ⊥BA時(shí)，

∵∠A=30°，

∴∠B=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BP=2BQ=t，

∴BQ=0.5t，

即AB=AQ+BQ=2t+0.5t =2.5t=18，

解得：t=7.2(s)；

綜上所述，當(dāng)t為4.5(s)或7.2(s)時(shí)，△BPQ是直角三角形．