Question

8．如圖，已知正方形MNQR內接于銳角△ABC中，設△ABC的面積為S，正方形MNQR的面積為S₁，求證：S₁≤$\frac{1}{2}$S．

Answer 1

分析 由NQ∥AB知△NCQ∽△ABC，設△ABC的底邊AB=a，底邊上的高為h，正方形的邊長為m，利用相似三角形的對應高的比等于相似比，表示出出正方形的邊長，根據不等式的性質得出結論．

解答 解：設△ABC的底邊AB=a，底邊上的高為h，正方形的邊長為m，
∴S=$\frac{1}{2}$ah，
∵NQ∥AB，
∴△NCQ∽△ABC，
∴$\frac{m}{a}=\frac{h-m}{h}$，
∴m=$\frac{ah}{a+h}$，
∴S₁=（$\frac{ah}{a+h}$）²，
根據不等式的性質知：a+h≥2$\sqrt{ah}$，
∴S₁=（$\frac{ah}{a+h}$）²≤（$\frac{ah}{2\sqrt{ah}}$）²=$\frac{1}{4}ah$=$\frac{1}{2}$S，
即S₁≤$\frac{1}{2}$S．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質的綜合運用，利用不等式的性質得到a+h≤2$\sqrt{ah}$，是解決問題的關鍵所在．