Question

21、如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且CD=AE，AD與BE相交于點P．
（1）求證：∠ABE=∠CAD；
（2）若BH⊥AD于點H，求證：PB=2PH．

Answer 1

分析：（1）欲證∠ABE=∠CAD，可以通過證明△ABE≌△CAD得出；
（2）欲證PB=2PH，因為BH⊥AD于點H，在Rt△PBH中根據含30°的直角三角形的性質由∠BPH=60°即可得到答案．

解答：證明：（1）∵等邊△ABC，
∴AC=AB，∠C=∠CAB．
∵CD=AE，
∴△ABE≌△CAD．
∴∠ABE=∠CAD．

（2）∵∠BPH=∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=60°，
∵BH⊥AD于點H，
∴在Rt△PBH中
∴PB=2PH．

點評：此題主要考查等邊三角形的性質及全等三角形判定與性質及含30°角的直角三角形的性質；求得三角形全等及∠BPH=60°是正確解答本題的關鍵．