Question

如圖，在平面直角坐標系中，圓D與y軸相切于點C（0，4），與x軸相交于A、B兩點，且AB=6．
（1）則D點的坐標是 （______，______），圓的半徑為______；
（2）sin∠ACB=______；經(jīng)過C、A、B三點的拋物線的解析式______；
（3）設拋物線的頂點為F，證明直線FA與圓D相切；
（4）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點N，使△CBN面積最大，最大值是多少，并求出N點坐標．

Answer 1

（1）解：連接DC，則DC⊥y軸，

過點D作DE⊥AB于點E，則DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD===5，
故可得點D的坐標為（5，4），圓的半徑為5；

（2）解：在Rt△AOC中，AC===2，
在Rt△BOC中，BC===5，
∵S_△ABC=AC×BCsin∠ACB=AB×CO，
∴sin∠ACB==；
設經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，
將三點坐標代入可得：，
解得：，
故經(jīng)過C、A、B三點的拋物線的解析式為：y=x²-x+4．

（3）證明：因為D為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，
拋物線頂點坐標：F（5，-），DF=4+=，AF==，
∵DA²+AF²=5²+（）²==（）²=DF²，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圓D．

（4）解：存在點N，使△CBN面積最�。�
根據(jù)點B及點C的坐標可得：直線BC的解析式為：y=-x+4，
設N點坐標（a，），過點N作NP與y軸平行，交BC于點P，

可得P點坐標為（a，），
則NP=-（）=
故S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN=×PN×OH+×PN×BH=PN×BO=×8×（）=16-（a-4）²
當a=4時，S_△BCN最大，最大值為16，此時，N（4，-2）．
分析：（1）連接DC，則DC⊥y軸，過點D作DE⊥AB于點E，則根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3，連接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圓的半徑，也可得出點D的坐標；
（2）根據(jù)S_△ABC=AC×BCsin∠ACB=AB×CO，可得出sin∠ACB，利用待定系數(shù)法可求出經(jīng)過C、A、B三點的拋物線的解析式．
（3）因為D為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理證明∠DAF=90°即可．
（4）設存在點N，過點N作NP與y軸平行，交BC于點P，求出直線BC的解析式，設點N坐標（a，），則可得點P的坐標為（a，-a+4），從而根據(jù)S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN，表示出△BCN的面積，利用配方法可確定最大值，繼而可得出點N的坐標．
點評：本題考查了二次函數(shù)及圓的綜合，涉及了垂徑定理、拋物線求二次函數(shù)解析式、切線的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識點較多，同學們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，關鍵還是基礎知識的掌握，要能將所學知識融會貫通，第四問解法不止一種，同學們可以積極探索其他解法．