Question

孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax²（a＜0）的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：
（1）若測得 OA=OB=（如圖1），求a的值；
（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標；
（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標。

Answer 1

解：（1）設線段AB與y軸的交點為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點， ∵OA=OB=，∠AOB=90°， ∴AC=OC=BC=2， ∴B（2，-2） 將B（2，-2）代入拋物線y=ax2（a＜0）得，a=-， （2）：過點A作AE⊥x軸于點E， ∵點B的橫坐標為1， ∴B（1，-）， ∴BF= 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF， 又∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴， ∴AE=2OE 設點A（-m，-m2）（m＞0），則OE=m，AE=m2， ∴m2=2m， ∴m=4，即點A的橫坐標為-4； （3）設A（-m，-m2）（m＞0），B（n，-n2）（n＞0）， 設直線AB的解析式為：y=kx+b，則 （1）×n+（2）×m得，（m+n）b=-（m2n+mn2）=-mn（m+n）， ∴b=-mn 又易知△AEO∽△OFB， ∴， ∴， ∴mn=4 ∴ b=-×4=-2， 由此可知不論k為何值，直線AB恒過點（0，-2）。