Question

規(guī)定，滿足（1）各邊互不相等且均為整數，（2）最短邊上的高與最長邊上的高的比值為整數k，這樣的三角形稱為比高三角形、其中k叫做比高系數．根據規(guī)定解答下列問題：
（1）周長為13的比高系數k=______．
（2）寫出一個只有4個比高系數的比高三角形的周長，周長為 ______．
（3）比高△ABC三邊與它的比高系數k之間滿足BC-AC=AC-AB=k²，求△ABC的周長．

Answer 1

解：（1）根據定義和三角形的三邊關系，知
此三角形的三邊是2，5，6或3，4，6．則k=2或3．
（2）如周長為37的三角形，只有四個比高系數，當比高系數為2時，這個三角形三邊分別為9、10、18，當比高系數為3時，這個三角形三邊分別為6、13、18，當比高系數為6時，這個三角形三邊分別為3、16、18，當比高系數為9時，這個三角形三邊分別為2、17、18．
（3）∵a-b=b-c=k^2  ①，
∴a＞b＞c，且a=kc，
∴2b=a+c=kc+c，即b=（kc+c），
又b-c=k²，將b=（kc+c）代入并化簡得2k²-kc+c=0 ②
方程②有整數根，所以△=c²-8c=0為完全平方數，
當△≠0時，設c²-8c=m²（m為正整數） ③
方程③有整數根，所以△=64+4m²為完全平方數，設64+4m²=n²（n為正整數）
∴（n+2m）（n-2m）=64
∴或，解得或（非正整數，舍去）
∴m=3，代入方程③解得c=9，代入方程②解得k=3
∴c=9，a=kc=27，b=（kc+c）=18
∵b+c=a，
∴不符合三角形三邊關系，題目無解；
當△=0，即c=8或c=0（不合題意，舍去）時，
由方程②解得，k=2；
∴a=kc=2×8=16，即a=16；
∴b=（kc+c）=12；
又∵16-12＜8＜16+12，
16-8＜12＜16+8，
12-8＜16＜12+8，
∴a、b、c滿足題意，
∴a+b+c=36；
故答案為（1）2或3；（2）25；（3）36．
分析：（1）根據定義結合三角形的三邊關系“任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊”，進行分析；
（2）根據比高三角形的知識點結合三角形三邊關系的知識點，進行判斷周長固定的三角形只有四個比高系數，
（3）設BC=a，AC=b，AB=c，根據題干條件和比高三角形的知識，可得2k²-kc+c=0，然后解方程，根據方程有整數根，進一步解得a、b、c的值．并通過三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊驗證．
點評：本題主要考查三角形三邊關系的知識點，解答本題的關鍵是理解題干條件：比高三角形的概念，根據比高三角形的知識可以解答出前兩問，第三問難度有點大，主要是利用方程的整數根的知識點進行解答，此題難度較大．