Question

2．如圖，在?ABCD中，P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在射線CP上，連接AE，∠CPD=∠BDC+∠BAE．
（1）探究線段PC、PE、AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)P是對(duì)角線DB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（如圖2），∠CPD=∠BDC-∠BAE，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CM∥AF，利用AAS證明△ABF≌△CDM，得出CM=AF，由∠3=∠CMP，得出CM=CP=AF，那么PC=AF=AE+EF=AE+EP；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CC′∥AE交BD延長(zhǎng)線于C′，直線BD與AE交于K．利用AAS證明△ABK≌△CDC′，得出AK=CC′，進(jìn)而得出AE+PE=CP．

解答 解：（1）PC=PE+AE．理由如下：
過(guò)點(diǎn)C作CM∥AF，如圖1，
∴∠CMP=∠AFP①，
∴∠CMD=∠AFB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠4，
∴∠EFP=∠1+∠4，
∵∠CPD=∠BDC+∠BAE，
∴∠3=∠1+∠2，
∴∠EFP=∠3=∠EPF②，
∴EF=EP，
在△ABF和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠AFB}\\{∠2=∠4}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDM（AAS），
∴CM=AF，
∴∠3=∠CMP，
∴CM=CP=AF，
∴PC=AF=AE+EF=AE+EP；

（2）（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：
過(guò)點(diǎn)C作CC′∥AE交BD延長(zhǎng)線于C′，直線BD與AE交于K，如圖2．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠2=∠4．
∵∠4=∠3+∠K，∠2=∠1+∠3，
∴∠K=∠1，
∵∠1=∠EPK，
∴∠K=∠EPK，
∴EK=EP，
∴AK=AE+EK=AE+EP．
∵CC′∥AK，
∴∠K=∠C′=∠1，
∴CP=CC′．
在△ABK與△CDC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠K=∠C′}\\{∠ABK=∠CDC′}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△CDC′（AAS），
∴AK=CC′，
∴AE+PE=CP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．