Question

19．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2$\sqrt{3}$，以AB為直徑作⊙M，點C是優(yōu)弧$\widehat{AB}$上的一個動點，連接AC、BC，分別交⊙M于點D、E，則線段CD的最大值為2．

Answer 1

分析 如圖，連接OA、OB、BD．首先證明∠BDC=90°，∠CBD=30°，由此推出CD=$\frac{1}{2}$BC，欲求CD的最大值，只要求出⊙O的弦BC的最大值即可．

解答 解：如圖，連接OA、OB、BD．

∵OA=OB=2，AM=BM=$\sqrt{3}$．，
∴OM⊥AB，∠AOM=∠BOM，
∴sin∠AOM=$\frac{AM}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOM=60°，
∴∠AOB=2∠AOM=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∵AB是⊙M的直徑，
∴∠ADM=90°，
在Rt△BCD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴欲求CD的最大值，只要求出⊙O的弦BC的最大值，
∵⊙O的直徑為4，
∴弦BC的最大值為4，
∴CD的最大值為2．
故答案為2．

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，本題的突破點是證明CD=$\frac{1}{2}$BC，求出BC的最大值，屬于中考填空題中的壓軸題．