Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）求OA、OC的長(zhǎng)；
（2）求證：DF為⊙O′的切線；
（3）直線BC上存不存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形？如果不存在，說明理由；如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用邊OA比OC大2且面積為15，可列方程求得OA、OC；
（2）連接O′D，由條件可證明△OCE≌△ABE，可得到EO=EA，得到∠1=∠2=∠3，可得到∠3+∠ADF=90°，從而可得到∠O′DF=90°，可證得結(jié)論；
（3）分別以點(diǎn)A、點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫圓，與BC的交點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)，結(jié)合勾股定理可求得這些點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）解：在矩形OABC中，設(shè)OC=x，則OA=x+2，
∴x（x+2）=15，
∴x₁=3，x₂=-5，
∴x₂=-5（不合題意，舍去），
∴OC=3，OA=5；
（2）證明：如圖1，連接O′D，

在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=

5

2

，
在△OCE和△ABE中，

OC=AB ∠OCB=∠ABC CE=BE

，
∴△0CE≌△ABE（SAS），
∴EA=EO，
∴∠1=∠2；
∵在⊙O′中，O′O=O′D，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴O′D∥AE；
∵DF⊥AE，
∴DF⊥O′D，
∵點(diǎn)D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑，
∴DF為⊙O′切線；
（3）解：存在．
①當(dāng)A0=AP時(shí)，如圖2，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P₁和P₄兩點(diǎn)
過P₁點(diǎn)作P₁H⊥OA于點(diǎn)H，P₁H=0C=3；

∵AP_l=OA=5，
∴AH=4，
∴OH=l，
求得點(diǎn)P₁（1，3）同理可得：P₄（9，3）；
②當(dāng)OA=OP時(shí)，同上可求得P₂（4，3），P₃（-4，3），
∴在直線BC上，除了E點(diǎn)外，既存在⊙O′內(nèi)的點(diǎn)P，又存在⊙O′外的點(diǎn)P使△AOP為等腰三角形，
其坐標(biāo)為（1，3）或（9，3）或（4，3）或（-4，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的判定和矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．在（1）中注意方程思想的應(yīng)用；在（2）中注意證明切線的兩種方法，即有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)，證明垂直，沒有切點(diǎn)時(shí)作垂直，證明距離等于半徑；在（3）中注意利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等的特點(diǎn)找出滿足條件的點(diǎn)的位置．本題綜合性較強(qiáng)，待查知識(shí)點(diǎn)較多，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意知識(shí)的靈活運(yùn)用．