Question

如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連結AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=2，CC₁=x，四邊形ABC₁D₁的面積為S．
（1）線段AD₁的長度最小值是

 

，此時x=

 

；
（2）當x為何時，四邊形ABC₁D₁是菱形？并說明理由；
（3）求S與x的函數關系式，并在直角坐標系中畫出這個函數的圖象．

Answer 1

考點：矩形的性質,菱形的判定,平移的性質

專題：

分析：（1）當AD₁⊥AC時，線段AD₁的長度最小，再根據解直角三角形求解．
（2）四邊形ABC₁D₁是菱形，可以得出△AD₁C₁是等邊三角形，進而求出x的值．
（3）作C₁E⊥AB于點E，求出EC₁用平行四邊形的面積公式求出關于S與x的函數關系式，注意函數關系式分兩種情況并畫出圖象．

解答：解：（1）當AD₁⊥AC時，線段AD₁的長度最��；
∵矩形ABCD中，∠ACB=30°，AB=2，
∴∠D₁A₁C₁=∠DAC=∠ACB=30°，C₁D₁=CD=AB=2，∠A₁D₁C₁=∠D=90°，
∴∠A₁C₁D₁=60°，
∴AC₁=C₁D₁•cos60°=2×

1

2

=1，AD₁=C₁D₁•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∵AC=2CD=4，
∴x=AC-AC₁=4-1=3；
故答案為：

3

，3．

（2）當x=2時，四邊形ABC₁D₁是菱形．
理由：四邊形ABC₁D₁是菱形
∴C₁D₁=AD₁
∵∠A₁C₁D₁=60°，C₁D₁=2，
∴△AD₁C₁是等邊三角形，
∴AD₁=AC₁=C₁D₁=2
x=AB-AC₁=4-2=2
∴當x=2時，四邊形ABC₁D₁是菱形；

（3）
①當0＜x＜4時，如圖作C₁E⊥AB于點E
∵∠ACB=30°，AB=2
∴AC=4，AC₁₌4-x
∵C₁E∥BC
∴∠AC₁E=∠ACB=30°
∴AE=

4-x

2

，EC₁₌

3

2

（4-x）
∴S=AB×EC₁₌2×

3

2

（4-x）=4

3

-

3

x
S=-

3

x+4

3

②當x＞4時，如圖2，作C₁E⊥AB于點E

∵∠ACB=30°，AB=2
∴AC=4，AC₁ =x-4
∵C₁E∥BC
∴∠AC₁E=∠ACB=30°
∴AE=

1

2

（x-4），EC₁₌

3

2

（x-4）
∴S=AB×EC₁₌2×

3

2

（x-4）=

3

x-4

3

圖象：

點評：本題主要考查矩形的性質、等邊三角形的判定及解直角三角形的知識．