Question

8．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O，連結(jié)AO，若△OAB、△OBC、△OCA的面積比為1：1：$\sqrt{2}$，則△ABC的形狀是（　�。�

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等邊三角形

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì)，△OAB、△OBC、△OCA的面積比為1：1：$\sqrt{2}$，由三角形面積公式可得AB：BC：CA=1：1：$\sqrt{2}$，再根據(jù)勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的判定即可求解．

解答 解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O，
∴△OAB、△OBC、△OCA中AB、BC、CA邊上的高相等，
∵△OAB、△OBC、△OCA的面積比為1：1：$\sqrt{2}$，
∴AB：BC：CA=1：1：$\sqrt{2}$，
∴AB=BC，
∵1²+1²=（$\sqrt{2}$）²，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的形狀是等腰直角三角形．
故選：C．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積，勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的判定，關鍵是熟悉角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等的知識點．