Question

（1）課本回顧
如圖1，用半徑R=3cm，r=2cm的鋼球測量口小內(nèi)大的內(nèi)孔的直徑D．測得鋼球頂點(diǎn)與孔口平面的距離分別為a=4cm，b=2cm，則內(nèi)孔直徑D的大小為

 

．

（2）問題拓展
如圖2，在矩形ABCD內(nèi)，已知⊙O₁與⊙O₂互相外切，且⊙O₁與邊AD、DC相切，⊙O₂與邊AB、BC相切．若AB=4，BC=3，⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r，R．求O₁O₂的值．
（3）靈活運(yùn)用
如圖3，某市民廣場是半徑為60米，圓心角為90°的扇形AOB，廣場中兩個(gè)活動(dòng)場所是圓心在OA、OB上，且與扇形OAB內(nèi)切的半圓☉O₁、☉O₂，其余為花圃．若這兩個(gè)半圓相外切，試計(jì)算當(dāng)兩半圓半徑之和為50米時(shí)活動(dòng)場地的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用相切兩圓的性質(zhì)得出AB=5cm，再利用已知得出BC的長，由勾股定理求出AC的長，即可得出EF的長；
（2）連接O₁、O₂，并分別過O₁、O₂作AB、BC的平行線，則O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²，進(jìn)而求出R+r的值即可；
（3）當(dāng)兩圓半徑之和為50米時(shí)，有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，則（60-r）²+（60-R）²=50²，即可得出R²+r²，進(jìn)而利用圓的面積公式求出即可．

解答：解：（1）如圖1，
∵半徑R=3cm，r=2cm，a=4cm，b=2cm，
∴AB=5cm，BC=3+4-4=3（cm），
∴AC=4cm，
∴D=EF=AF+EC+AC=3+4+2=9（cm），
故答案為：9cm；                 

（2）如圖2，連接O₁、O₂，并分別過O₁、O₂作AB、BC的平行線．
則O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²．
即（R+r）²=[4-（R+r）]²+[3-（R+r）]²
化簡得：（R+r）²-14（R+r）+25=0，
解得：O₁O₂=r+R=7-2

6

或7+2

6

（不合題意舍去）；

（3）當(dāng)兩圓半徑之和為50米時(shí)，
有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，
則（60-r）²+（60-R）²=50²．
即R²+r²-120（R+r）+4700=0．
∴R²+r²=1300．
∴活動(dòng)場所面積=

1

2

πR²+

1

2

πr²=

1

2

π•1300=650π（平方米）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及勾股定理和一元二次方程的解法等知識(shí)，利用相切兩圓的性質(zhì)得出圓心距與兩圓半徑關(guān)系是解題關(guān)鍵．