Question

7、求證：3ⁿ+1（n為正整數(shù)）能被2或2²整除，但不能被2的更高次冪整除．

Answer 1

分析：由于n的奇偶性不能確定，故應分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況討論，①若n=2k為偶數(shù)，k為正整數(shù)，由3^k是奇數(shù)，（3k）²是奇數(shù)的平方，奇數(shù)的平方除以8余1，故可設（3k）²=8a+1，再根據(jù)數(shù)的奇偶性進行判斷即可；
②若n=2k+1為奇數(shù)，k為非負整數(shù)，可得出3ⁿ+1=3（8a+1）+1=4（6a+1），再根據(jù)6a+1的奇偶性即可進行判斷．

解答：解：證明：若n=2k為偶數(shù)，k為正整數(shù)，則
3ⁿ+1=3^2k+1=（3^k）2+1．
由3^k是奇數(shù)，（3k）²是奇數(shù)的平方，奇數(shù)的平方除以8余1，故可設（3k）²=8a+1，于是
3ⁿ+1=8a+2=2（4a+1）．
4a+1是奇數(shù)，不含有2的因數(shù)，所以3ⁿ+1能被2整除，但不能被2的更高次冪整除．
若n=2k+1為奇數(shù)，k為非負整數(shù)，則
3ⁿ+1=3^2k+1+1=3•（3^k）²+1
=3（8a+1）+1=4（6a+1）．
由于6a+1是奇數(shù)，所以此時3n+1能被2²整除，但不能被2的更高次冪整除．

點評：本題考查的是數(shù)的整除性問題，在解答此題時要注意分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況討論，不要漏解．