Question

（2004•泰安）已知：如圖，⊙P與⊙O相交于點(diǎn)A、B，且⊙P經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)C是⊙P的優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），弦OC交公共弦AB于點(diǎn)D，連接CA、CB．
（1）求證：CD•CO=CA•CB；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在⊙P上何位置時(shí)，直線CA與⊙O相切？并說明理由；
（3）當(dāng)∠ACB等于60°時(shí)，兩圓半徑有什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先證明△ACO∽△DCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

AC

DC

=

CO

CB

，進(jìn)而得到CD•CO=CA•CB；
（2）連接OP，并延長與⊙P交于點(diǎn)E．若點(diǎn)C在點(diǎn)E位置時(shí)，直線CA與⊙O相切，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠OAE=90°，進(jìn)而得到OA⊥EA，即EA與⊙O相切；
（3）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等，作直徑OE，連接BE，AE，OA，然后證明∠AEO=30°，再根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OA=

1

2

OE，進(jìn)而得到OP=OA．

解答：（1）證明：在⊙O中，∵AO=BO，
∴

AO

=

BO

，
∴∠ACO=∠DCB，
又∵∠1=∠2，
∴△ACO∽△DCB，
∴

AC

DC

=

CO

CB

，
∴CD•CO=CA•CB；

（2）解：連接OP，并延長與⊙P交于點(diǎn)E．
若點(diǎn)C在點(diǎn)E位置時(shí)，直線CA與⊙O相切，
理由：連接AE，
∵EO是⊙P的直徑，
∴∠EAO=90°，
∴OA⊥EA，
∴EA與⊙O相切，
即點(diǎn)C在點(diǎn)E位置時(shí)，直線CA與⊙O相切．

（3）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等．理由：
解：作直徑OE，連接BE，AE，OA，
∵∠AEB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴

AO

=

BO

，
∴∠AEO=∠BEO，
∴∠AEO=30°，
∵OE是直徑，
∴∠EAO=90°，
∴OA=

1

2

OE，
∴OA=PO，
∴當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合，關(guān)鍵是掌握等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角等于90°；直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．具有一定的綜合性．