Question

14．如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，且AB=CD，下列結(jié)論中正確的有①③④（填上所有正確結(jié)論的序號）
①GH∥DC；
②EG∥AD；
③EH=FG；
④當(dāng)∠ABC與∠DCB互余時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 ①③：根據(jù)中位線性質(zhì)可得，正確；
②若AD∥BC，根據(jù)平行線截線段成比例定理可知：EG∥AD，但BC與AD未必平行，故②不正確；
④先說明中點四邊形為菱形，再由∠ABC與∠DCB互余得EF⊥FG，四邊形EFGH是正方形，所以④正確；

解答 解：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，
∴EH=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}$DC，EF=$\frac{1}{2}$DC，GH∥DC，
∵AB=CD，
∴EH=FG=GH=EF，
∴四邊形EFGH是菱形，
所以選項①③正確；
當(dāng)∠ABC與∠DCB互余時，則∠GFC與∠EFB互余，EF⊥FG，四邊形EFGH是正方形，所以④正確；
若BC∥AD，設(shè)AC與BD交于O，
∴$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{BD}$，
∴$\frac{AO}{2AG}=\frac{DO}{2ED}$，
∴$\frac{AO}{AG}=\frac{DO}{ED}$，
∴AD∥EG，
但BC與AD未必平行，故②不正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了中點四邊形和正方形、菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是關(guān)鍵；本題還利用了菱形、正方形的判定：①四條邊相等的四邊形是菱形，②有一個角是直角的菱形是正方形．