Question

6．如圖①，△ABC的角平分線BD，CE相交于點P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC=130°．
（2）如圖②，過點P作直線MN∥BC，分別交AB和AC于點M和N，試求∠MPB+∠NPC的度數(shù)（用含∠A的代數(shù)式表示）∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）將直線MN繞點P旋轉(zhuǎn)．
（i）當(dāng)直線MN與AB，AC的交點仍分別在線段AB和AC上時，如圖③，試探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．
（ii）當(dāng)直線MN與AB的交點仍在線段AB上，而與AC的交點在AC的延長線上時，如圖④，試問（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明你的理由；若不成立，請給出∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB，再根據(jù)角平分線定義得到∠BPC=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB），再利用三角形內(nèi)角和定理得∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，然后把∠A的度數(shù)代入計算；
（2）根據(jù)平角定義得∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，然后根據(jù)（1）的求解；
（3）（ i）∠與（2）的說理一樣；
（ⅱ）有結(jié)論∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答 解：（1）∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB
=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
=90°+$\frac{1}{2}$×80°
=130°；
故答案為：130°．
（2）∵∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
故答案為：∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）（i）∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：
∵∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（ii）不成立，有∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：由題圖④可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，
由（1）知：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC
=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了平角的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟記三角形的內(nèi)角和定理．