Question

△ABC的三邊長分別為a，b，c，并且a＞b＞c，a，b，c都正整數(shù)，滿足條件

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，試判斷△ABC是否存在，并說明理由．

Answer 1

分析：因?yàn)閍＞b＞c，a、b、c都正整數(shù)，所以從最小的正整數(shù)c開始分析，分別探討a、b、c的數(shù)值，得出答案即可．

解答：解：因?yàn)閍＞b＞c，a，b，c都是正整數(shù)
所以c的最小值是1；
（1）當(dāng)c=1時，

1

a

+

1

b

+

1

c

=1；

（2）當(dāng)c=2，b=3，a=4時，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

+

1

3

+

1

4

＞1，
當(dāng)c=2，b=3，a=5時，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

+

1

3

+

1

5

=

31

30

＞1，
當(dāng)c=2，b=3，a=6時，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

+

1

3

+

1

6

=1，但2+3＜6，不能組成三角形，
當(dāng)c=2，b=3，a=6+K時，

1

a

+

1

b

+

1

c

＜1；

（3）當(dāng)c=2，b=4，a=5時，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

19

20

＜1，
當(dāng)c=2，b=4+M，a=5+N，（M不大于N）時，

1

a

+

1

b

+

1

c

＜1，
所以△ABC不存在．

點(diǎn)評：此題考查三角形的三邊關(guān)系，分?jǐn)?shù)的拆分，以及正整數(shù)的特性，滲透分類討論思想．