Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，弦CE⊥AB于F，C是的中點，連接AD，交CE于點P．
（1）求證：PA=PC；
（2）若，CF=12，求AC和BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂徑定理可知=，已知=，可得=，利用圓周角定理可證∠ACP=∠CAP，得出結(jié)論；
（2）由（1）可知∠CAD=∠ACF=∠B，即tan∠ACF=tan∠B=，先解Rt△ACF求AF，利用勾股定理求AC，再解Rt△ABC求BC．
解答：（1）證明：∵AB為直徑，弦CE⊥AB于F，
∴=，
又∵C是的中點，
∴=，
∴=，
∴∠ACP=∠CAP，
∴PA=PC；

（2）∵==，
∴∠CAD=∠ACF=∠B，
∴tan∠ACF=tan∠B=，
在Rt△ACF中，AF=CF•tan∠ACF=9，
∴AC==15，
在Rt△ABC中，BC===20．
點評：本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形．關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理，弧的中點得出相等的弧，得出相等的角．