Question

7．如圖，已知在△ABC中AB=AC，點D為BC邊的中點，點F在邊AB上，點E在線段DF的延長線上，且∠BAE=∠BDF，點M在線段DF上，且∠EBM=∠C．
（1）求證：EB•BD=BM•AB；
（2）求證：AE⊥BE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠C，由已知條件得到∠EBM=∠C，等量代換得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{BD}$，于是得到結(jié)論；
（2）連接AD，由等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠EBM=∠C，
∴∠EBM=∠ABC，
∴∠ABE=∠DBM，
∵∠BAE=∠BDF，
∴△BEA∽△BMD，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{BD}$，
∴EB•BD=BM•AB；

（2）連接AD，
∵AB=AC，點D為BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∵$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{BD}$，∠ABD=∠EBM，
∴△ABD∽△EBM，
∴∠ADB=∠EMB=90°，
∴∠AEB=∠BMD=90°，
∴AE⊥BE．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．