Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0）、B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（    ，    ）；

（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．

①求二次函數(shù)的關(guān)系式；

②當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，直接寫出函數(shù)值y對應(yīng)的取值范圍；[來源:學(xué)_科_網(wǎng)Z_X_X_K]

③在此二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C除外），使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－3，1) ．

(2)①∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(－3，1)，

∴.解得 

     ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為 

     ②當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，≤y≤8；

     ③過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，

i) 當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，延長CA至點(diǎn)，使，則△是以AB為直角邊的等腰直

角三角形，過點(diǎn)作⊥軸，

∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，

∴△≌△，∴AE＝AD＝2， ＝CD＝1,

∴可求得的坐標(biāo)為(1，－1)，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上；

ii） 當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作直線L⊥BA，在直線L上分別取，得到以AB為直角邊的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y軸，同理可證△≌△∴ BF＝OA＝1，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（2， 1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2， 3），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上

綜上：二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)(1，－1)，（2，1）兩點(diǎn)，使得△和△是以AB為直角邊的等腰直角三角形．

【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①把C點(diǎn)代入求得二次函數(shù)的解析式；②利用二次函數(shù)的圖象得出y的取值范圍；③分二種情況進(jìn)行討論.