Question

如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP＞AM），點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上點(diǎn)F處．

（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對(duì)相似三角形？（不需說明理由）

（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

；22、或；23、1或7；24、解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，

∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，

根據(jù)相似的傳遞性，△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，

∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，

∵sin∠DMF==，∴設(shè)DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，

∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：x=（舍）或x=2，∴AB=6