Question

18．如圖，⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD，BD．
（1）由AB，BD，$\widehat{AD}$圍成的曲邊三角形的面積是$\frac{25}{2}$+$\frac{25π}{4}$；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）求線段DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由AB是直徑知∠ACB=90°，結(jié)合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，從而知∠AOD=90°，根據(jù)曲邊三角形的面積=S_扇形AOD+S_△BOD可得答案；
（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根據(jù)DE∥AB可得OD⊥DE，即可得證；
（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四邊形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°-∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AC}{BC}$，求得EF的長(zhǎng)即可得．

解答 解：（1）如圖，連接OD，

∵AB是直徑，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，
則曲邊三角形的面積是S_扇形AOD+S_△BOD=$\frac{90•π•{5}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$+$\frac{25π}{4}$，
故答案為：$\frac{25}{2}$+$\frac{25π}{4}$；

（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（3）∵AB=10、AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，則四邊形AODF是正方形，
∴AF=OD=FD=5，
∴∠EAF=90°-∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{EF}{5}$=$\frac{6}{8}$，
∴$EF=\frac{15}{4}$，
∴DE=DF+EF=$\frac{15}{4}$+5=$\frac{35}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的判定、圓周角定理、正方形的判定與性質(zhì)及正切函數(shù)的定義，熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的判定及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．