Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，16），D（24，0），點B在第一象限，且AB∥x軸，BD=20，動點P從原點O開始沿y軸正半軸以每秒4個單位長的速度向點A勻速運動，過點P作x軸的平行線與BD交于點C；動點Q從點A開始沿線段AB-BD以每秒8個單位長的速度向點D勻速運動，設點P、Q同時開始運動且時間為t（t＞0），當點P與點A重合時停止運動，點Q也隨之停止運動．
（1）求點B的坐標及BD所在直線的解析式；
（2）當t為何值時，點Q和點C重合？
（3）當點Q在AB上（包括點B）運動時，求S_△PQC與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若∠PQC=90°時，求t的值．

Answer 1

（1）∵A（0，16），D（24，0）
∴AO=16，OD=24
過點B作BF⊥OD于F，
∴∠BOF=90°，AO∥BF，且AB∥x軸
∴四邊形ABFO是矩形
∴BF=AO=16
在Rt△BFD中，由勾股定理，得
FD=12
∴OF=12
∴B（12，16）
設直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得

16=12k+b 0=24k+b

，解得

k=- 4 3 b=32

∴直線BD的解析式為y=-

4

3

x+32

（2）∵PC∥OD
∴

EC

FD

=

BE

BF

∴

EC

12

=

16-4t

16

∴EC=12-3t
∴PC=24-3t，BE=16-4t
過點Q作QH⊥OD于H，
∴

DQ

BD

=

QH

BF

∵BQ=8t-12
∴DQ=32-8t
∴

32-8t

20

=

QH

16

，解得
QH=

108-32t

5

∴GQ=

108-52t

5

∴

108-52t 5 •(24-3t)

2

=0，解得
t₁=8（不符合題意），t₂=

27

13

∴當t₂=

27

13

時點Q和點C重合．

（3）當0＜t≤1.5時
S_△PQC=

(24-3t)(16-4t)

2

∴S_△PQC=6t²-72t+192
∴當點Q在AB上（包括點B）運動時，求S_△PQC與t的函數(shù)關(guān)系式為S_△PQC=6t²-72t+192

（4）∵

BE

BF

=

BC

BD

∴

20-DC

20

=

16-4t

16

∴DC=5t
∴CQ=32-13t
∵∠PQC=90°
∴△BFD∽△PQC
∴

FD

CQ

=

BD

PC

∴

12

32-13t

=

20

24-3t

，
解得t=

11

7