Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BA、BC為邊向內(nèi)作等邊ABF和等邊BCE，AE與CF交于G點(diǎn)，以下結(jié)論：①AE=CF；②∠AGC=120°；③GB平分∠AGC；④若AB=BC，則AE=2EG，其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①②③正確可以根據(jù)△ABE≌△FBC利用全等三角形的性質(zhì)解決，④錯(cuò)誤由圖2證明CE是∠ACG的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)定理即可解決．

解答 解：如圖1中，作BM⊥FC于⊥M，BN⊥AE⊥于⊥N，
∵△ABF，△BCE都是等邊三角形，
∴BA=BF，BE=BC，∠ABF=∠EBC，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{∠ABE=∠FBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBC，
∴AE=CF故①正確，∠AEB=∠FCB，
∵∠AEB+∠BEC=180°，
∴∠BCF+∠BEG=180°，
∴∠EBC+∠EGC=180°，
∴∠EGC=120°，故②正確，
∴AE=CF，
∴$\frac{1}{2}$•AE•BN=$\frac{1}{2}$•CF•BM，
∴BN=BM，
∴BG平分∠AGC，故③正確，
如圖2中，作GM⊥AC垂足為M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=15°，
∵BF=BC，∠CBF=30°，
∴∠BCF=75°，
∴∠ECG=15°，
∴∠ACE=∠ECG，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{AC}{CG}$，
在RT△GMC中，∵∠MCG=30°，
∴CM：CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AC=2CM，
∴$\frac{AE}{EG}=\frac{AC}{GC}$=$\sqrt{3}$，故④錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的角平分線性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)證明角相等的方法，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定難度．