Question

在平面直角坐標系xOy中，點、分別在軸、軸的正半軸上，且，點為線段的中點．

（1）如圖1，線段的長度為________________；

（2）如圖2，以為斜邊作等腰直角三角形，當點在第一象限時，求直線所對應的函數(shù)的解析式；

（3）如圖3，設點、分別在軸、軸的負半軸上，且，以為邊在第三象限內(nèi)作正方形，請求出線段長度的最大值，并直接寫出此時直線所對應的函數(shù)的解析式．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）5 （2）直線OC所對應的函數(shù)解析式為（3）線段MG取最大值10+．

此時直線MG的解析式

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半得線段的長度為5.

以為斜邊作等腰直角三角形，當點在第一象限時,過點C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．

所以∠CQB=∠CPA=90°，又有∠QOP=90°，∠QCP=90°．∠BCA=90°，∠BCQ=∠ACP．BC=AC，

可證得△BCQ≌△ACP．從而得CQ=CP．不妨設C點的坐標為(a，a)(其中)．

設直線OC所對應的函數(shù)解析式為，，解得k=1，所以直線OC所對應的函數(shù)解析式為（3）取DE的中點N，連結ON、NG、OM.因為∠AOB=90°，所以OM=．同理得ON=5．

在正方形DGFE，N為DE中點，DE=10，由勾股定理得NG=．在點M與G之間總有MO+ON+NG由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關于點O中心對稱時，M、O、N、G四點共線,此時等號成立.這時線段MG取最大值10+．

此時直線MG的解析式

試題解析：（1）5

（2）如圖1,過點C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．

∴∠CQB=∠CPA=90°，

∵∠QOP=90°，

∴∠QCP=90°．

∵∠BCA=90°，

∴∠BCQ=∠ACP．

∵BC=AC，

∴△BCQ≌△ACP．

∴CQ=CP．

∵點在第一象限,

∴不妨設C點的坐標為(a，a)(其中)．

設直線OC所對應的函數(shù)解析式為，

∴，解得k=1，

∴直線OC所對應的函數(shù)解析式為．           4分

（3）取DE的中點N，連結ON、NG、OM.

∵∠AOB=90°，

∴OM=．

同理ON=5．

∵正方形DGFE，N為DE中點，DE=10，

∴NG=．

在點M與G之間總有MO+ON+NG(如圖2)，

由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關于點O中心對稱時，M、O、N、G四點共線,此時等號成立（如圖3）.

∴線段MG取最大值10+．

此時直線MG的解析式

考點：1.直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,2.在直角坐標系中求點的坐標,3.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.