Question

6．在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax²相交于A，B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上．
（1）已知a=1，點B的縱坐標為2．
①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長．
②如圖2，若BD=$\frac{1}{2}$AB，過點B，D的拋物線L₂，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達式．
（2）如圖3，若BD=AB，過O，B，D三點的拋物線L₃，頂點為P，對應函數(shù)的二次項系數(shù)為a₃，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點，求$\frac{{a}_{3}}{a}$的值，并直接寫出$\frac{AB}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點A、B的坐標，求出AC的長；
②作拋物線L₂的對稱軸與AD相交于點N，根據(jù)拋物線的軸對稱性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）過點B作BK⊥x軸于點K，設(shè)OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式，根據(jù)拋物線過點B（t，at²），求出$\frac{{a}_{3}}{a}$的值，根據(jù)拋物線上點的坐標特征求出$\frac{AB}{EF}$的值．

解答 解：（1）①二次函數(shù)y=x²，當y=2時，2=x²，
解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$．
∵平移得到的拋物線L₁經(jīng)過點B，
∴BC=AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC=4$\sqrt{2}$．
②作拋物線L₂的對稱軸與AD相交于點N，如圖2，
根據(jù)拋物線的軸對稱性，得BN=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
設(shè)拋物線L₂的函數(shù)表達式為y=a（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²，
由①得，B點的坐標為（$\sqrt{2}$，2），
∴2=a（$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²，
解得a=4．
拋物線L₂的函數(shù)表達式為y=4（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²；
（2）如圖3，拋物線L₃與x軸交于點G，其對稱軸與x軸交于點Q，
過點B作BK⊥x軸于點K，
設(shè)OK=t，則AB=BD=2t，點B的坐標為（t，at²），
根據(jù)拋物線的軸對稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
設(shè)拋物線L₃的函數(shù)表達式為y=a₃x（x-4t），
∵該拋物線過點B（t，at²），
∴at²=a₃t（t-4t），
∵t≠0，
∴$\frac{{a}_{3}}{a}$=-$\frac{1}{3}$，
由題意得，點P的坐標為（2t，-4a₃t²），
則-4a₃t²=ax²，
解得，x₁=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、掌握拋物線的對稱性、正確理解拋物線上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．