Question

【題目】如圖1，拋物線C1：y＝ax2+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0）且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），將拋物線C1向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物線C2，直線y＝x+c，經(jīng)過點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A，交拋物線C2于點(diǎn)B，拋物線C2的頂點(diǎn)為P．

(1)求拋物線C1的解析式；

(2)如圖2，連結(jié)AP，過點(diǎn)B作BC⊥AP交AP的延長線于C，設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動點(diǎn)，連結(jié)BQ并延長交AC于點(diǎn)F，

①當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到什么位置時，S△PBD×S△BCF＝8？

②連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣2x+1；(2)點(diǎn)Q運(yùn)動到x軸時，S△PBD×S△BCF＝8；②證明見解析.

【解析】

（1）已知頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為：y=a（x-1）2，將點(diǎn)（0，1）代入即可；

（2）根據(jù)平移規(guī)律求出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即P（2，-1），根據(jù)頂點(diǎn)式，得平移后拋物線解析式y=（x-2）2-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面積；

（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再計算FC（AC+EC）為定值．

(1)把頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0）和點(diǎn)（0，1）坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+1，

解得：拋物線的方程為：y＝x2﹣2x+1；

(2)拋物線C1向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物拋物線C1向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物線C2，

則拋物線C2的方程為：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，

此時頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣1），A（0，﹣1）、B（4，3），

①則：S△PBD＝3，S△BCF＝，

設(shè)點(diǎn)Q（m，m2﹣4m+3），把Q、B點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，

解得：BQ所在的直線方程為：y＝mx+（3﹣4m），

則：F（，﹣1），S△BCF＝FC（yB﹣yC）＝＝，

則m＝3，點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（3，0），即：點(diǎn)Q運(yùn)動到x軸時，S△PBD×S△BCF＝8；

②如下圖所示，過Q點(diǎn)分別作AC、BC的垂線QM、QN，

設(shè)：Q（t，t2﹣4t+3），則QM＝CN＝（t﹣2）2，MC＝QN＝4﹣t，

∵QM∥CE，∴＝，則：＝，解得：EC＝2t﹣4，

∵QN∥FC，，則：FC＝，而AC＝4，

∴FC（AC+EC）＝（4+2t﹣4）＝8，為定值．