Question

如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上，
（1）若這個矩形是正方形，那么邊長是多少？
（2）若這個矩形的長是寬的2倍，則矩形的長和寬分別是多少？

Answer 1

考點：相似三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）設(shè)出邊長為xmm，由正方形的性質(zhì)得出，PQ∥BC，PN∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得出比例關(guān)系式，

PN

AD

=

BP

AB

、

PQ

BC

=

AP

AB

，代入數(shù)據(jù)求解即可．
（2）設(shè)寬為xmm，則長為2xmm，同（1）列出比例關(guān)系求解，但是要注意有兩種情況，PQ可以為長也可以為寬，分兩種情況分別求解即可．

解答：解：（1）設(shè)邊長為xmm，
∵矩形為正方形，
∴PQ∥BC，PN∥AD，
根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出：

PN

AD

=

BP

AB

、

PQ

BC

=

AP

AB

，
由題意知PN=x，AD=80，BC=120，PQ=x，
即

x

80

=

BP

AB

，

x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

x

80

+

x

120

=

BP

AB

+

AP

AB

=1，
解得x=48．
答：若這個矩形是正方形，那么邊長是48mm．

（2）設(shè)邊寬為xmm，則長為2xmm，
∵PNMQ為矩形，
∴PQ∥BC，PN∥AD，
根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出：

PN

AD

=

BP

AB

、

PQ

BC

=

AP

AB

，
①PN為長，PQ為寬：
由題意知PN=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=xmm，
即

2x

80

=

BP

AB

，

x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

2x

80

+

x

120

=

BP

AB

+

AP

AB

=1，
解得x=30，2x=60．
即長為60mm，寬為30mm．
②PN為寬，PQ為長：
由題意知PN=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm，
即

x

80

=

BP

AB

，

2x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

x

80

+

2x

120

=

BP

AB

+

AP

AB

=1，
解得x=

240

7

，2x=

480

7

．
即長為

480

7

mm，寬為

240

7

mm．
答：矩形的長為60mm，寬是30mm或者長為

480

7

mm，寬為

240

7

mm．

點評：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，熟記性質(zhì)并列出比例式是解題的關(guān)鍵．