Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0）．一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)，直線(xiàn)AB的表達(dá)式為，且與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）如圖2，在A，B兩點(diǎn)之間的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△ABP的面積S，求出面積S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖3，將△OAB沿射線(xiàn)BA方向平移得到△DEF，在平移過(guò)程中，以A，D，Q為頂點(diǎn)的三角形能否成為等腰三角形？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)（點(diǎn)O除外）；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)S取得最大值16時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，6）；（3）以A，D，Q為頂點(diǎn)的三角形能成為等腰三角形，點(diǎn)E坐標(biāo)為：E1（21，），E2（15，），E3（），E4（16，﹣3）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)（10，0）．O（0，0）代入拋物線(xiàn)，解出b，c，再代回，即可得拋物線(xiàn)的解析式；

（2）先將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立，解出點(diǎn)B坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)G坐標(biāo)，用相關(guān)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)表示線(xiàn)段長(zhǎng)河高，從而可得面積的表達(dá)式，再?gòu)暮瘮?shù)角度即可得解；

（3）利用勾股定理分別表示出AD2，AQ2，QD2，再分AD＝AQ，AD＝QD，AQ＝QD，分別來(lái)求解，從而得點(diǎn)D坐標(biāo)，再將其橫坐標(biāo)加10，縱坐標(biāo)不變即可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0）．O（0，0），

∴

∴，

∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x．

（2）由得﹣x2+x＝，

∴x＝2或x＝10，

∴點(diǎn)B（2，4）．

如圖2，作PC⊥x軸于C點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，

∵動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)AB的表達(dá)式為，

∴設(shè)P（m，﹣m2+m），G（m，），

∴PG＝﹣m2+3m﹣5，

∴S＝PG（xA﹣xG）+PG（xG﹣xB）＝（﹣m2+3m﹣5）（10﹣2）＝﹣m2+12m﹣20＝﹣（m﹣6）2+16，

∴當(dāng)m＝6時(shí)，S最大＝16，

∴P（6，6）

答：當(dāng)S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，6）．

（3）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝5，點(diǎn)Q在直線(xiàn)上，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，），D點(diǎn)在過(guò)O點(diǎn)且平行于AB的直線(xiàn)y＝上，設(shè)D（a，），

∴AD2＝（10﹣a）2+a2，AQ2＝25+＝，QD2＝（a﹣5）2+

①當(dāng)AD＝AQ時(shí)，（10﹣a）2+a2＝，解得a1＝11，a2＝5，

∴D1（11，），D2（5，﹣）；

∴E1（21，），E2（15，-）；

②當(dāng)AD＝QD時(shí)，（10﹣a）2+a2＝（a﹣5）2+，解得a＝，

∴D3（，），E3（，）；

③當(dāng)AQ＝QD時(shí)，＝（a﹣5）2+，解得a＝6，

∴D4（6，﹣3），E4（16，﹣3）

綜上所述，以A，D，Q為頂點(diǎn)的三角形能成為等腰三角形，點(diǎn)E坐標(biāo)為：E1（21，），E2（15，），E3（，），E4（16，﹣3）．