Question

【題目】（14分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）與y軸的交點為A，與x軸的交點分別為B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直線AD∥x軸，在x軸上有一動點E（t，0）過點E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當0＜t≤8時，求△APC面積的最大值；

（3）當t＞2時，是否存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．

【解析】試題分析：（1）首先利用根與系數的關系得出： ，結合條件求出的值，然后把點B，C的坐標代入解析式計算即可；（2）（2）分0＜t＜6時和6≤t≤8時兩種情況進行討論，據此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6時和t＞6時兩種情況進行討論，再根據三角形相似的條件，即可得解．

試題解析：解：（1）由題意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根，

∴x1+x2=8，

由．

解得：．

∴B（2，0）、C（6，0）

則4m﹣16m+4m+2=0，

解得：m=，

∴該拋物線解析式為：y=；．

（2）可求得A（0，3）

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵

∴

∴直線AC的解析式為：y=﹣x+3，

要構成△APC，顯然t≠6，分兩種情況討論：

當0＜t＜6時，設直線l與AC交點為F，則：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，

∴S△APC=S△APF+S△CPF

=

=

=，

此時最大值為：，

②當6≤t≤8時，設直線l與AC交點為M，則：M（t，﹣），

∵P（t，），∴PM=，

∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=

=

=，

當t=8時，取最大值，最大值為：12，

綜上可知，當0＜t≤8時，△APC面積的最大值為12；

（3）如圖，連接AB，則△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，

Q（t，3），P（t，），

①當2＜t≤6時，AQ=t，PQ=，

若：△AOB∽△AQP，則：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，則：，

即：，

∴t=0（舍）或t=2（舍），

②當t＞6時，AQ′=t，PQ′=，

若：△AOB∽△AQP，則：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，則：，

即：，

∴t=0（舍）或t=14，

∴t=或t=或t=14．