Question

已知直線y=x和y=-x+m，二次函數(shù)y=x²+px+q圖象的頂點(diǎn)為M．
（1）若M恰在直線y=x與y=-x+m的交點(diǎn)處，試證明：無論m取何實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)
y=x²+px十q的圖象與直線y=-x+m總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．  
（2）在（1）的條件下，若直線y=-x+m過點(diǎn)D(0，-3)，求二次函數(shù)y=x²+px+q的表達(dá)式，
并作出其大致圖象．

Answer 1

（1）證明：由， 有， ∴ ， ∴交點(diǎn)M， 此時(shí)二次函數(shù)為 ， 由②③聯(lián)立，消去y，有，  ， ∴無論m為何實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)y=x2+px+q的圖像與直線y=-x+m總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； （2）解：∵直線y=-x+m過D（0，-3）， ∴-3=0+m， ∴m=-3， ∴M(-2,-1) ∴二次函數(shù)為y=（x+2）2-1=x2+4x+3； 圖像如右圖：