Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+3分別相交于A，B兩點(diǎn)，且此拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C，連接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出這個(gè)最大值；

（3）點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+3；（2）|MB﹣MC|取最大值為；（3）存在，點(diǎn)P（1，6）．

【解析】

（1）①將A（0，3），C（-3，0）代入y=x2+bx+c，即可求解；

（2）分當(dāng)點(diǎn)B、C、M三點(diǎn)不共線時(shí)、當(dāng)點(diǎn)B、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，兩種情況分別求解即可；

（3）分當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)兩種情況，分別求解即可．

（1）將A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，

得，

解得，

∴拋物線的解析式是y＝x2+x+3；

（2）將直線y＝x+3表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并解得：x＝0或﹣4，

∵A （0，3），

∴B（﹣4，1）

①當(dāng)點(diǎn)B、C、M三點(diǎn)不共線時(shí)，

|MB﹣MC|＜BC，

②當(dāng)點(diǎn)B、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，

|MB﹣MC|＝BC，

∴當(dāng)點(diǎn)、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MB﹣MC|取最大值，即為BC的長，

過點(diǎn)B作x軸于點(diǎn)E，

在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，

∴|MB﹣MC|取最大值為；

（3）存在點(diǎn)P使得以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x2+x+3）（x＞0）

在Rt△BEC中，

∵BE＝CE＝1，

∴∠BCE＝45°，

在Rt△ACO中，

∵AO＝CO＝3，

∴∠ACO＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，

過點(diǎn)P作PQ⊥PA于點(diǎn)P，則∠APQ＝90°，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)G，

∵∠PQA＝∠APQ＝90°

∠PAG＝∠QAP，

∴△PGA∽△QPA

∵∠PGA＝∠ACB＝90°

∴①當(dāng)時(shí)，

△PAG∽△BAC，

∴，

解得x1＝1，x2＝0，（舍去）

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為×12+×1+3＝6，

∴點(diǎn)P為（1，6）；

②當(dāng)時(shí)，

△PAG∽△ABC，

∴，

解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），

∴此時(shí)無符合條件的點(diǎn)P

綜上所述，存在點(diǎn)P（1，6）．