Question

如圖，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BE、CF分別平分∠ABC、∠ACB，交AC、AB于點E、F，BE，CF交于點O，求證：OE=OF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在BC上找到一點G，使得CG=CE，易證∠OCE=∠OCG即可證明△OCE≌△OCG，可得∠COE=∠COG，OE=OG，即可求得∠BOG=∠BOF，即可證明△BOG≌△BOF，可得OF=OG，即可解題．

解答：證明：在BC上找到一點G，使得CG=CE，

∵CF平分∠ACB，
∴∠OCE=∠OCG=45°，
在△OCE和△OCG中，

CE=CG ∠OCE=∠OCG OC=OC

，
∴△OCE≌△OCG（SAS），
∴∠COE=∠COG，OE=OG，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE=15°，
∴∠BEC=75°，
∴∠COE=∠COG=60°，
∴∠BOG=∠BOF=60°，
在△BOG和△BOF中，

∠BOG=∠BOF BO=BO ∠CBE=∠ABE

，
∴△BOG≌△BOF（ASA），
∴OF=OG，
∴OE=OF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，本題中求證△OCE≌△OCG和△BOG≌△BOF是解題的關(guān)鍵．