Question

如圖，用若干長(zhǎng)度都是a的線(xiàn)段，順次連接成一個(gè)折線(xiàn)圖，折線(xiàn)每個(gè)的夾角都是60°．即：A₀A₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=A₆A₇=A₇A₈=A₉A₁₀=A₁₀A₁₁=a，且滿(mǎn)足：∠A₀A₁A₂=∠A₁A₂A₃=∠A₂A₃A₄=∠A₃A₄A₅=…=∠A₉A₁₀A₁₁=60°．
（1）仿照題中畫(huà)出A₁₁A₁₂、A₁₂A₁₃，使A₁₁A₁₂=A₁₂A₁₃=a，且∠A₁₀A₁₁A₁₂=∠A₁₁A₁₂A₁₃=60°；
（2）連接A₀A₃、A₃A₆，設(shè)A₀A₃與A₁A₂交于點(diǎn)P，用量角器測(cè)量∠A₄PA₂、∠A₄A₃A₆的大小，并直接寫(xiě)出A₀A₃、A₃A₆的大小關(guān)系；
（3）連接A₀A₂、A₀A₄和A₀A₆，分別測(cè)量出它們的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度（用含有a的式子表示），并歸納A₀A_2n的長(zhǎng)度，直接寫(xiě)出A₂₀A_x0的長(zhǎng)度；
（4）設(shè)m為奇數(shù)，連接A_mA₂₀₁₃，若A_mA₂₀₁₃=100，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：（1）分別以A₁₀、A₉為圓心，以a長(zhǎng)為半徑作弧，使兩弧相交于點(diǎn)A₁₁，再以同樣的方法確定點(diǎn)A₁₂，A₁₃；
（2）連接A₀A₂，由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠A₄PA₂、∠A₄A₃A₆的值，由勾股定理就可以求出A₀A₃、A₃A₆的值；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出A₀A₂、A₀A₄和A₀A₆的值，就可以得出A₀A_2n的值為na，就有A₂₀A_x0的值為

x0-20

2

a；
（4）根據(jù)條件可以建立方程

1

2

（2013-m）a=100，求出其解即可．

解答：解：（1）如圖1，①分別以A₁₀、A₉為圓心，以a長(zhǎng)為半徑作弧，使兩弧相交于點(diǎn)A₁₁，
②再以同樣的方法確定點(diǎn)A₁₂，A₁₃；
（2）連接A₀A₂，
∵A₀A₁=A₁A₂，∠A₀A₁A₂=60°，
∴△A₀A₁A₂是等邊三角形．
∵∠A₀A₁A₂=∠A₁A₂A₃，
∴A₀A₁∥A₂A₃，
∴∠A₁A₀P=∠A₂A₃P．
在△A₁A₀P和△A₂A₃P中，

∠A0A1A2=∠A1A2A3 A0A1=A3A2 ∠A1A0P=∠A2A3P

，
∴△A₁A₀P≌△A₂A₃P（ASA），
∴A₁P=A₂P，A₀P=A₃P．
∴∠A₁PA₀=∠A₃PA₂=90°，
∴∠PA₃A₂=30°，
∴A₂P=

a

2

，A₃P=

3

2

a，
∴A₀A₃=A₃A₆=

3

a．
測(cè)量得：測(cè)量∠A₄PA₂=40°，∠A₄A₃A₆=30°．
（3）由題意，得
A₀A₂=a，
A₀A₄=2a，
A₀A₆=3a，
…
∴A₀A_2n=na．
∴A₂₀A_x0=

x0-20

2

a；
（4）由題意，得

1

2

（2013-m）a=100，
解得：m=

2013a-200

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，作圖的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．