Question

已知E、F是Rt△ABC斜邊AB的三等分點，AE=EF=FB，且CE=4，CF=3，求斜邊AB的長．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：

分析：延長CF到G，使FG=CF=3，連接EG并延長交AC與H，作DF⊥HG，由SAS定理得出△EFG≌△BFC，故EG=BC，∠G=∠BCF，同理可得△AHE≌△FDE，DF=AH，由平行線分線段成比例可知，HC=2DF，BC=3HE，設DF=AH=a，ED=EH=b，則HC=2a，EG=BC=3b，則DG=3b-b=2b，在Rt△CHE和Rt△FDG中根據(jù)勾股定理可知（2a）²+b²=4²①，（2b）²+a²=3²②，兩式相加可得出EF的長，進而得出結論．

解答：解：延長CF到G，使FG=CF=3，連接EG并延長交AC與H，作DF⊥HG，
在△EFG與△BFC中，
∵

EF=FB ∠EFG=∠CFB CF=FG

∴△EFG≌△BFC（SAS），
∴EG=BC，∠G=∠BCF，
∴GH∥BC，
∴GH⊥AC，
∴DF∥AC．
同理可得△AHE≌△FDE，
∴DF=AH，
由平行線分線段成比例可知，HC=2DF，BC=3HE，
設DF=AH=a，ED=EH=b，則HC=2a，EG=BC=3b，
∴DG=3b-b=2b，
在Rt△CHE和Rt△FDG中，（2a）²+b²=4²①，（2b）²+a²=3²②，
①+②得，a²+b²=5，即EF²=5，解得EF=

5

，
∴AB=3EF=3

5

．

點評：本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．